Komplexe Tall

De komplexen Tallen $ℂ$ hoold de reellen Tallen $ℝ$, de de ratschonalen Zahlen $\mathbb{Q}$ hoold, to den wedder de hele Tallen $\mathbb{Z}$ un de natüürliken Tallen $\mathbb{N}$ tohöört.

De komplexen Tallen vergröttert de reellen Tallen, so dat algebraische Glieken as $x^2+1=0$ oder $x^2=-1$ to lösen sind. Annners as wenn sik $\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to ℝ$ vergröttert, langt dat hier nich de Tallen na links to „verdubbeln “(de natüürliken Tallen, de postiv sind un de negativen Tallen daarto givt de helen Tallen) „dichter to stoppen“ (ratschonale un reelle Tallen), man ene niege Tallenflach statts een Tallenstraal is nödig.

• Üm dat de Quadrate van allen reellen Tallen grötter oder gliek 0 sind, kann dat kene reelle Tall geven, de een Glieken as $x^2=-1$ lösen kann. Nödig is heel ene niege Tall, de normalerwiese $\mathrm{i}$ heet un de Egenschop ${\mathrm{i}}^2=-1$ het. Düsse Tall $\mathrm{i}$ is ene imaginäre Eenheid.

De Definitschoon för komplexe Tallen is de de Summe $a+b\cdot \mathrm{i}$ defineert, wo $a$ un $b$ bi reelle Tallen sind un $\mathrm{i}$ de imiginäre Eenheid is, so in de Definitschoon boven. För de komplexen Tallen, de so defineert worden sind, kann een nu de Rekenregels för reelle Tallen bruken, wo een $\mathrm{i}$ bi as ene Konstante bruukt un ${\mathrm{i}}^2$ dör $-1$ uuttuuschen kann un anners rüm. Dat Symbool för de Mengde van den komplexen Tallen is $ℂ$ (ℂ als Unicode-Zeichen U+2102)

De Tallengebeed, dat so konstrueert worden is, breid de reellen Tallen uut un het ene Rege Egenschoppen, de för vele Natuur- un Ingineurswetenschoppen nütte sind. Een Grund för deenliken Egenschoppen is dat komplexe Tallen algebraisch afsloten sind. Dat heet, dat jeed ene algebraische Glieken med positiven Grad över den komplexen Tallen to lösen is, wat för relle Tallen nich güllig is. Düsse Egenschop is de Inhoold van den Fundamentaalgesett in de Algebra. Een anner Grund is de Betog twischen trigonoomschen Funktschonen un de Expotentschaalfunktschoon (Eulerformel), de över komplexen herstostellen is.

De Elektrotechnik bruukt daardör fen Bookstaven $\mathrm{j}$, dat $i$ oder $i(t)$ de van de Tieg afhangen Stroomstärk un $\mathrm{j}$ nich to verwesseln sind.

Literatuur

• Paul Nahin: An imaginary tale: The story of $\sqrt{-1}$. Princeton University Press, 1998, ISBN 978-0-691-14600-3.
• Reinhold Remmert: Komplexe Zahlen. In D. Ebbinghaus u. a. (Rutgever.): Zahlen. Springer, 1983.

Nettverwiesen

• Schriften, Dokumentatschoonen
  • Komplexen Tallen (hoogdüütsch)
  • Reken mit komplexen Talen uni-kiel.de (hoogdüütsch)
  • Komplexe Tallen in de Chaostheorie dimensions-math.org (hoogdüütsch)
• Programmen för komplexe Tallen
  • HTML5-App. walter-fendt.de
  • Reekner för komplexeTallen calc3d.com