Afbillen (Mathematik)

In de Mathematik is een Afbillen oer Funktion een Relation tüsken twee Koppels.

Definition

Een Afbillen tüsken een Koppel $A$ un een Koppel $B$ is een Deelkoppel $f\subseteq A\times B$ met de dåre Eygenskap:

$\mathrm{\forall }a\in A\mathrm{\exists }b\in B:(a,b)\in f$

d.b. för elk $a\in A$ is der akkråt een $b\in B$ met $(a,b)\in f$.

In düssen Fall skrievt wi $f:A\to B$, üm antogeven, dat $f$ een Afbillen van $A$, de Definitionskoppel, nå $B$, de Ennkoppel is, un beteekent met $f(a)$ för elk $a\in A$ dat eendütige Element van $B$ met $(a,f(a))\in f$.

Is $f:A\to B$ een Afbillen, so is $\{(a,f(a))|a\in A\}$ de Graph van $f$.

Eygenskapen

Bild un Urbild

Is $f:A\to B$ een Afbillen, so defineert me för $X\subseteq A$ un $Y\subseteq B$ de Koppels

• $f[X]:=\{f(a)|a\in A\}$ dat Bild van $X$ ünner $f$, soas
• $f^{-1}[Y]:=\{a\in a|f(a)\in Y\}$ dat Urbild van Y ünner $f$.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Een Afbillen $f:A\to B$ hait

• injektiv/Injektion, as för alle $a,a^{\prime }\in A$ uut $a\ne a^{\prime }$ ok $f(a)\ne f(a^{\prime })$ folgt, elk $b\in B$ düs häuchstens een Urbild häff.
• surjektiv/Surjektion, as der för alle $b\in B$ een $a\in A$ met $f(a)=b$ existeert, elk $b\in B$ düs minnstens een Urbild häff.
• bijektiv/Bijektion, as se injektiv un surjektiv is.

Antall Stiärn / Arität

Is de Definitionsberiek $D$ een Produktkoppel $D=A\times B$, so nöömt wi de Afbillen tweestiärig of binär. Analog is een $n$-stiärige Relation op een Koppel $A$ een Deelkoppel $R\subset A^n$.

Koppel van Afbillens

Alle Afbillens van $A$ nå $B$ billen sülvst de Koppel

$B^A:=\{f\in 𝒫(A\times B)|\mathrm{\forall }a\in A\mathrm{\exists }!b\in B:(a,b)\in f\}$