De Born vun Gröttste gemeensame Deler wiesen.

De '''gröttste gemeensame Deler''' is en wichtigen Begreep ut de [[Tallentheorie]]. För twee [[hele Tall]]en ''a'' un ''b'', de nich beide liek to de 0 ween dörvt, gifft dat jümmers en gröttsten gemeensamen [[Deler]]. Dat is de gröttste [[natürliche Tall]], de sowohl ''a'' as ok ''b'' deelt, ahn dat 'n Rest blifft.

De gröttste gemeensame Deler vun ''a'' un ''b'' warrt as <math>\operatorname{ggD}(a,b)</math> schreven. To'n Bispeel is <math>\operatorname{ggD}(12,18)=6</math>, <math>\operatorname{ggD}(-4,14)=2</math> un
<math>\operatorname{ggD}(5,0)=0</math>.

Twee Tallen warrt [[relativ prim]] nöömt, wenn jümehr gröttste gemeensame Deler de 1 is. To'n Bispeel sünd 9 un 28 relativ prim.

In de ingelsche Literatur warrt de ''ggD'' as ''gcd'' schreven (för ''greatest common divisor'').

De gröttste gemeensame Deler helpt bi dat [[Bröökreken]], üm den [[Bröök]] to körten:
:<math>{42\over56}={3\cdot14\over4\cdot14}={3\over4}</math>
Hier hebbt wi de 14 körtt, dat is de gröttste gemeensame Deler vun 42 un 56.

== Utreken vun den ggD ==

=== Utreken över de Primfaktoren ===

De ''ggD'' un ok dat ''lgV'' (dat [[lüttste gemeensame Veelfache]]) laat sik över de [[Primfaktor]]en vun ''a'' un ''b'' utreken. Een Bispeel:


: <math>\operatorname{a} = 3528  = 2^{\color{Red}3} \cdot 3^{\color{Red}2} \cdot 5^{\color{Red}0} \cdot 7^{\color{Red}2}</math>
: <math>\operatorname{b} = 3780 = 2^{\color{OliveGreen}2} \cdot 3^{\color{OliveGreen}3} \cdot 5^{\color{OliveGreen}1} \cdot 7^{\color{OliveGreen}1}</math>

För den <math>\operatorname{ggD}</math> nehmt wi de ''lüttsten'' Exponenten vun de Basen:

: <math>\operatorname{ggD}(3528,3780) = 2^{\color{OliveGreen}2} \cdot 3^{\color{Red}2} \cdot 5^{\color{Red}0} \cdot 7^{\color{OliveGreen}1} = 252</math>

För dat <math>\operatorname{lgV}</math> nehmt wi de ''gröttsten'' Exponenten vun de Basen:

: <math>\operatorname{lgV}(3528,3780) = 2^{\color{Red}3} \cdot 3^{\color{OliveGreen}3} \cdot 5^{\color{OliveGreen}1} \cdot 7^{\color{Red}2} = 52.920</math>

=== Utreken över den euklidschen Algorithmus ===

Dat Faktoriseren vun groten Tallen (dat is dat Rutfinnen vun jümehr Primfaktoren) is swoor. Denn is dat eenfacher, den <math>\operatorname{ggD}</math> mit den [[euklidsch Algorithmus|euklidschen Algorithmus]] uttoreken, de op den greekschen Mathematiker [[Euklid]] ([[300 v. Chr.]]) trüchgeiht. 

== de ggD vun mehr as twee Tallen ==

De <math>\operatorname{ggD}</math> lett sik ok vun mehr as twee helen Tallen utreken, wieldat de Operatschoon [[assoziativ]] is:

:<math>\operatorname{ggD}(a,\,\operatorname{ggD}(b,c)) = \operatorname{ggD}(\operatorname{ggD}(a,b),\,c) = \operatorname{ggD}(a,b,c)</math>

== Egenschoppen ==

För alle helen Tallen ''a'', ''b'' gellt:
* <math>\operatorname{ggD}(a,b) = \operatorname{ggD}(b,a)</math> ''[[Kommutativgesetz]]''
* <math>\operatorname{ggD}(-a,b) = \operatorname{ggD}(a,b)</math>
* <math>\operatorname{ggD}(a,a) = |a|</math>
* <math>\operatorname{ggD}(a,0) = |a|</math>
* <math>\operatorname{ggD}(a,1) = 1</math>
* <math>\operatorname{ggD}(a,b) = \operatorname{ggD}(b,a \bmod b)</math>
* <math>\operatorname{ggD}(a,b) = \operatorname{ggD}(b,a-b)</math>

Wenn bavento ''m'' en natürliche Tall is, denn gellt:
* <math>\operatorname{ggD}(m a,m b) = m \cdot\operatorname{ggD}(a,b)</math> ''[[Distributivgesetz]]''
* <math>\operatorname{ggD}(a + m b, b) = \operatorname{ggD}(a,b)</math>

Wenn ''m'' en gemeensame Deler vun ''a'' un ''b'' is, denn gellt:
* <math>\operatorname{ggD}(a/m,b/m) = \operatorname{ggD}(a,b)/m</math>

{{DEFAULTSORT:Grottste Gemeensame Deler}}
[[Kategorie:Mathematik]]